સ્વાધ્યાય: વર્તુળ

અહી, $$O$$ કેન્દ્ર વાળા વર્તુળમાં $$AB$$ અને $$CD$$ બે જીવાઓ જે કેન્દ્ર આગળ $$\angle AOB$$ અને $$\angle COD$$ બનાવે છે. હવે, $$\Delta AOB$$ અને $$\Delta COD$$ માં, (1) $$AO = CO$$ (એક જ વર્તુળની ત્રિજ્યા) (2) $$BO = DO$$ (એક જ વર્તુળની ત્રિજ્યા) (3) $$AB = CD$$ (સમાન જીવાઓ આપેલ છે) આમ, બાબાબા શરત મુજબ $$\Delta AOB ≅ \Delta COD$$ $$\therefore \angle AOB = \angle COD$$

અહી, $$O$$ કેન્દ્ર વાળા વર્તુળમાં $$AB$$ અને $$CD$$ બે જીવાઓ જે કેન્દ્ર આગળ $$\angle AOB$$ અને $$\angle COD$$ બનાવે છે. $$\angle AOB = \angle COD$$ -----(1) હવે, $$\Delta AOB$$ અને $$\Delta COD$$ માં, (1) $$AO = CO$$ (એક જ વર્તુળની ત્રિજ્યા) (2) $$BO = DO$$ (એક જ વર્તુળની ત્રિજ્યા) (3) $$\angle AOB = \angle COD$$ ((1) પરથી) આમ, બાખુબા શરત મુજબ $$\Delta AOB ≅ \Delta COD$$ $$\therefore AB = CD$$

$$5$$ સેમી અને $$3$$ સેમી ત્રિજ્યાવાળાં બે વર્તુળો બે બિંદુમાં છેદે છે તેમને અનુક્રમે $$M$$ અને $$N$$ નામ આપો. $$OO'$$ અને $$MN$$ જયા છેદે ત્યાં $$L$$ નામ આપો. ધારો કે $$LO' = x$$ તેથી $$OL = 4 - x$$ થશે. તથા અહી $$ML = LN$$ થશે. અહી, $$\Delta OML$$ માટે, $$\therefore OM^2 = ML^2 + OL^2$$ $$\therefore 5^2 = ML^2 + (4 - x)^2$$ $$\therefore 25 = ML^2 + 16 - 8x + x^2$$ $$\therefore ML^2 = 9 + 8x - x^2$$ -----(1) તથા $$\Delta MLO'$$ માટે, $$\therefore O'M^2 = ML^2 + O'L^2$$ $$\therefore 3^2 = ML^2 + x^2$$ $$\therefore 9 = ML^2 + x^2$$ $$\therefore ML^2 = 9 - x^2$$ -----(2) હવે, (1) અને (2) પરથી, $$\therefore 9 + 8x - x^2 = 9 - x^2$$ $$\therefore 8x = 0$$ $$\therefore x = 0$$ $$\therefore ML = 3 = LN$$ અહી, $$MN$$ એ સામાન્ય જીવા છે. $$\therefore MN = ML + NL = 3 + 3 = 6$$ સેમી

$$O$$ કેન્દ્ર વાળા વર્તુળમાં જીવા $$AB$$ અને $$CD$$ પરસ્પર $$M$$ બિંદુમાં છેદે છે. $$OP ⊥ AB$$ અને $$OQ ⊥ CD$$ દોરો. $$AB = CD$$ (પ્રશ્નમા આપેલ છે.) $$OP = OQ $$ (વર્તુળની સમાન જીવાઓ કેન્દ્રથી સમાન અંતરે હોય છે) હવે કાટકોણ $$\Delta OPM$$ અને કાટકોણ $$\Delta OQM$$ માં, $$OP = OQ$$ (ઉપર મુજબ) $$OM = OM$$ (સામાન્ય બાજુ) આમ, કાકબા શરત અનુસાર $$\Delta OPM ≅ \Delta OQM$$ થશે.

$$\therefore PM = QM$$ થશે. $$\therefore \frac{1}{2}AM = \frac{1}{2}DM$$ $$\therefore AM = DM$$ -----(1) $$\therefore AB = CD$$ $$\therefore AB - AM = CD – DM$$ $$\therefore BM = CM$$ એટલે કે $$CM = BM$$ -----(2) (1) અને (2) પરથી, $$AM = DM$$ અને $$CM = BM$$ થશે. આમ, જો વર્તુળની બે સમાન જીવાઓ વર્તુળની અંદર છેદે, તો એક જીવાના કપાતા ભાગ અને તેને કપાતા બીજી જીવાના ભાગ સમાન છે.

$$O$$ કેન્દ્ર વાળા વર્તુળની બે સમાન જીવાઓ $$AB$$ અને $$CD$$ છે. $$AB$$ અને $$CD$$ જીવાઓ પરસ્પર $$M$$ બિંદુમાં છેદે છે. હવે $$OM$$ જોડો. $$OP ⊥ AB$$ અને $$OQ ⊥ CD$$ દોરો. કાટકોણ $$\Delta OPM$$ અને કાટકોણ $$\Delta OQM$$ માં, $$\angle OPM = \angle OQM$$ (કાટખૂણા) $$OP = OQ $$(વર્તુળની સમાન જીવાઓ કેન્દ્રથી સમાન અંતરે હોય છે.) $$OM = OM$$ (સામાન્ય બાજુ ) આમ, બાખુબા શરત અનુસાર $$\Delta OPM ≅ \Delta OQM$$ થશે. $$\therefore \angle OMP = \angle OMQ$$ $$\therefore \angle OMA = \angle OMD$$

$$OM ⊥ AD$$ થાય એમ એક રેખાખંડ દોરો $$\therefore AM = MD$$ -----(1) તથા, $$OM ⊥ BC$$ પણ થશે. $$\therefore BM = MC$$ -----(2) આમ, સમીકરણ (1) અને (2) પરથી, $$\therefore AM-BM = MD-MC$$ $$\therefore AB = CD$$

આકૃતિ પરથી $$AB = BC = 6$$ સેમી થશે તથા $$OA = 5$$ સેમી થશે. $$BM ⊥ AC$$ થાય તેવી રચના કરો. અહી $$AB = BC$$ હોવાથી $$ABC$$ એ સમબાજુ ત્રિકોણ થશે. $$M$$ એ $$AC$$ નું મધ્યબિંદુ છે. હવે ધારો કે $$AM = y$$ અને $$OM = x$$ છે. $$\therefore BM = 5-x$$ હવે, $$\Delta OAM$$ માટે પાયથાગોરસ મુજબ, $$\therefore OA^2 = OM^2 + AM^2$$ $$\therefore 5^2 = x^2 + y^2$$ ----- (1) તથા $$\Delta AMB$$ માટે પાયથાગોરસ મુજબ, $$\therefore AB^2 = BM^2 + AM^2$$ $$\therefore 6^2 = (5-x)^2 + y^2$$ ----- (2) (2) માંથી (1) બાદ કરતાં $$\therefore 36-25 = (5-x)^2 + y^2 - x^2 - y^2$$ $$\therefore 9 = 25 - 10x + x^2 + y^2 - x^2 - y^2$$ $$\therefore 14 = 10x $$ $$\therefore x = \frac{7}{5}$$ $$\therefore y^2 + \frac{49}{25} = 25$$ $$\therefore y^2 = 25 - \frac{49}{25}$$ $$\therefore y = \frac{24}{5}$$ આમ, $$AC = 2\times AM$$ $$\therefore AC = 2\times \frac{24}{5}$$ $$\therefore AC = 9.6$$ સેમી **આમ, રેશ્મા અને મનદીપ વચ્ચેનું અંતર 9.6 સેમી હશે.**

આકૃતિ પ્રમાણે ત્રણ છોકરાઓ અંકુર, સૈયદ અને ડૅવિડ અનુક્રમે $$A, B$$ અને $$C$$ પર સમાન અંતરે બેઠા છે. આમ, અહી $$ABC$$ એ સમબાજુ ત્રિકોણ થશે. $$\therefore AB = BC = AC = a$$ ધારો $$AD ⊥ BC$$ થાય તે રીતે $$AD$$ ને વર્તુળના કેન્દ્ર $$O$$ માંથી પસાર કરો. $$\therefore OA = \frac{1}{3}AD$$ હવે $$\Delta ABC$$ માટે પાયથાગોરસનો પ્રમેય વાપરતા, $$\therefore AB^2 = BD^2 + AD^2$$ $$\therefore AD^2 = AB^2 - BD^2$$ $$\therefore AD^2 = a^2 - \left(\frac{a}{2}\right)^2$$ $$\therefore AD^2 = \frac{3a^2}{4}$$ $$\therefore AD = \frac{\sqrt{3}a}{2}$$ $$\therefore OA = \frac{2}{3}AD$$ $$\therefore 20 = \frac{2}{3} \times \frac{\sqrt{3}a}{2}$$ $$\therefore a = 20\sqrt{3}$$ મીટર આમ, દરેકના ટેલિફોનની દોરીની લંબાઈ $$20\sqrt{3}$$ મીટર થશે.

અહી, $$\angle AOC = \angle AOB + \angle BOC$$ $$\therefore \angle AOC = 60\degree + 30\degree $$ $$\therefore \angle AOC = 90°$$ વર્તુળના કોઈ બે બિંદુએ ચાપ દ્વારા બનતો ખુણો એ વર્તુળના કેન્દ્ર આગળ ત્રિજ્યા દ્વારા બનતા ખૂણાથી અડધો હોય છે. $$\therefore \angle ADC = \frac{1}{2} \angle AOC$$ $$\therefore \angle ADC = \frac{1}{2} \times 90\degree $$ $$\therefore \angle ADC = 45\degree $$

અહી આકૃતિ પરથી, $$AB = OA = OB =$$ વર્તુળની ત્રિજ્યા $$\therefore \angle AOB = 60\degree $$ $$\therefore \angle ACB = \frac{1}{2} \angle AOB $$ $$\therefore \angle ACB = \frac{1}{2} \angle 60\degree $$ $$\therefore \angle ACB = 30\degree $$ હવે, $$ACBD$$ એ ચક્રીય ચતુષ્કોણ છે. $$\therefore \angle ADB + \angle ACB = 180\degree $$ (ચક્રીય ચતુષ્કોણના સામસામેના ખૂણા પૂરક કોણ હોય) $$\therefore \angle ADB + 30\degree = 180\degree $$ $$\therefore \angle ADB = 150\degree $$ આમ, લઘુચાપ પર $$30\degree $$ અને ગુરુચાપ પર $$150\degree $$ ના ખૂણા બનાવે છે.

અહી, $$\angle POR = 2 \times \angle PQR$$ $$\therefore \angle POR = 2 \times 100\degree = 200\degree $$ $$\therefore \angle POR = 360\degree - 200\degree = 160\degree $$ હવે, $$\Delta OPR$$ મા, $$OP = OR$$ (વર્તુળની ત્રિજ્યા) $$\therefore \angle OPR = \angle ORP$$ (સમાન બાજુની સામસામેની બાજુના ખૂણા સમાન હોય છે.) આપણે જાણીએ છીએ કે ત્રિકોણના ત્રણેય ખૂણાઓનો સરવાળો $$180\degree $$ થાય છે. $$\therefore \angle POR + \angle OPR + \angle ORP = 180\degree $$ $$\therefore \angle OPR + \angle OPR = 180\degree - 160\degree $$ $$\therefore \angle OPR = 20\degree $$ $$\therefore \angle OPR = 10\degree $$

આકૃતિ પરથી કહી શકીએ કે. $$\therefore \angle BAC = \angle BDC$$ $$\therefore \angle ABC + \angle BAC + \angle ACB = 180\degree $$ $$\therefore \angle BAC = 180\degree - 69\degree - 31\degree $$ $$\therefore \angle BAC = 80\degree $$ $$\therefore \angle BDC = 80\degree $$

અહી, $$\angle BAC = \angle CDE$$ હવે, $$\Delta CDE$$ મા, $$\angle CEB = \angle CDE + \angle DCE$$ $$\therefore 130\degree - 20\degree = \angle CDE$$ $$\therefore \angle CDE = 110\degree $$ $$\therefore \angle BAC = 110\degree $$

અહી, $$\angle CBD = \angle CAD$$ (એક જ પાયા પર આવેલ બે ખૂણા)

$$\therefore \angle CAD = 70\degree$$ હવે, $$\therefore \angle BAD = \angle BAC + \angle CAD$$ $$\therefore \angle BAD = 30\degree + 70\degree$$ $$\therefore \angle BAD = 100\degree$$ વર્તુળની અંદર ચતુષ્કોણના સામસામેના ખૂણા નો સરવાળો હમેશા $$180\degree$$ જ હોય. $$\therefore \angle BCD + \angle BAD = 180\degree$$ $$\therefore \angle BCD + 100\degree = 180\degree$$ $$\therefore \angle BCD = 80\degree$$ હવે, $$\Delta ABC$$ માટે, AB = BC (પ્રશ્નમાં આપેલ છે.) $$\angle BCA = \angle CAB$$ (સમાન બાજુની સામસામેની બાજુ પણ સમાન હોય છે.) $$\therefore \angle BCA = 30\degree$$ તથા, $$\therefore \angle BCA + \angle ACD = 80\degree$$ $$\therefore 30\degree + \angle ACD = 80\degree$$ $$\therefore \angle ACD = 50\degree = \angle ECD$$ $$\therefore \angle ECD = 50\degree$$

અહી, $$ABCD$$ એ ચક્રીય ચતુષ્કોણ છે. તથા $$AC$$ અને $$BD$$ એ વર્તુળના બે વ્યાસ થશે અને વર્તુળનું કેન્દ્ર $$O$$ છે. આપણે જાણીએ છીએ કે અર્ધવર્તુળના ખૂણાઓ સમાન હોય છે. $$\therefore \angle ABC = \angle BCD = \angle CDA = \angle DAB = 90\degree$$ આમ, તમામ ખૂણા $$90\degree$$ ના હોવાથી કહી શકાય કે ચક્રીય ચતુષ્કોણ $$ABCD$$ એ લંબચોરસ છે.

અહી $$ABCD$$ એ સમલંબ ચતુષ્કોણ છે તથા $$AM ⊥ CD$$ અને $$BN ⊥ CD$$ દોરો. હવે, $$\Delta AMD$$ અને $$\Delta BNC$$ માટે,

(1) $$AD = BC$$ (પ્રશ્નમા આપેલ છે.) (2) $$\angle AMD = \angle BNC$$ (કાટખૂણા) (3) $$AM = BN$$ (સમાંતર રેખા) આમ, બાખુબા શરત અનુસાર $$\Delta AMD ≅ \Delta BNC$$ થશે. $$\therefore \angle ADC = \angle BCD$$ અહી, $$\angle BAD + \angle ADC = 180\degree$$ થશે. તથા $$\angle BAD + \angle BCD = 180\degree$$ થશે. આમ, જો સમલંબ ચતુષ્કોણની સમાંતર ન હોય તેવી બાજુઓ સમાન હોય, તો તે ચક્રીય છે.

જીવા $$AP$$ અને $$DQ$$ જોડો. $$\angle PBA = \angle ACP$$ ----- (1) (સમાન પાયા AP દ્વારા બનતા ખૂણા) $$\angle DBQ = \angle QCD$$ ----- (2) (સમાન પાયા DQ દ્વારા બનતા ખૂણા) બે રેખાખંડ $$ABD$$ અને $$PBQ$$ એ $$B$$ માંથી પસાર થાય છે. અહી, બિંદુ $$B$$ પરથી, $$\angle PBA = \angle DBQ$$ ----- (3) સમીકરણ (1),(2) અને (3) પરથી, $$\angle ACP = \angle QCD$$

અહી, ત્રિકોણ $$ABC$$ ની રચના એ રીતે કરો કે જેથી $$AB$$ અને $$AC$$ એ બંને વર્તુળના વ્યાસ થાય. $$\angle ADB = \angle ADC = 90\angle$$ આમ, $$\angle ADB + \angle ADC = 180\angle$$ આમ, $$\angle BDC$$ એ એક સીધી રેખા બનશે. આથી, કહી શકાય કે બિંદુ $$D$$ એ રેખા $$BC$$ પર જ આવેલ છે.

અહી, $$AC$$ એ સામાન્ય કર્ણ હોવાથી, $$\angle B = \angle D = 90\degree$$ આમ, બે કાટકોણ ત્રિકોણ $$ABC$$ અને $$ADC$$ એ અર્ધવર્તુળની અંદર આવેલા બે ત્રિકોણો છે.

આમ, $$CD$$ એ વર્તુળની જીવા થશે. $$\therefore \angle CAD = \angle CBD$$ (CD સમાન પાયા પર આવેલા બે ત્રિકોનો ના ખૂણા સમાન હોય)

ધારો કે $$ABCD$$ એ ચક્રીય સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ છે. $$\angle A + \angle C = 180\degree$$ -----(1) (ચક્રીય સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણના સામસામેના ખૂણા) આપણે જાણીએ છીએ કે ચક્રીય સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણના સામસામેના ખૂણા સમાન હોય છે. $$\angle A = \angle C$$ અને $$\angle B = \angle D$$ (1) પરથી, $$\angle A + \angle A = 180\degree$$ $$2\angle A = 180\degree$$ $$\angle A = 90\degree$$ આમ, ચક્રીય સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ એ લંબચોરસ છે.