સ્વાધ્યાય: ત્રિકોણ

$$\Delta ABC $$ અને $$ \Delta ABD$$ માટે (1) AC = AD (પ્રશ્નમાં આપેલ છે.) (2) AB = AB (સામાન્ય બાજુ) (3) $$\angle CAB = \angle DAB$$ (AB એ $$\angle A$$ નો દ્વિભાજક છે.) આમ, બાખુબા શરત અનુસાર $$\Delta ABC ≅ \Delta ABD$$ થશે. અહી, $$\Delta ABC ≅ \Delta ABD$$ હોવાથી BC = BD થશે.

અહી, $$AD = BC$$ અને $$\angle DAB = \angle CBA$$ આપેલ છે. (i) $$\Delta ABD ≅ \Delta BAC$$ $$AD = BC$$ (પ્રશ્નમાં આપેલ છે.) $$\angle DAB = \angle CBA$$ (પ્રશ્નમાં આપેલ છે.) $$AB = BA$$ (સામાન્ય બાજુ) આમ, બાખુબા શરત અનુસાર $$\Delta ABD ≅ \Delta BAC$$ થશે. --- (ii) $$BD = AC$$ $$\Delta ABD ≅ \Delta BAC$$ હોવાથી, $$BD = AC$$ થશે. --- (iii) $$\angle ABD = \angle BAC$$. $$\Delta ABD ≅ \Delta BAC$$ હોવાથી, $$\angle ABD = \angle BAC$$ થશે.

અહી $$AD$$ અને $$BC$$ એ રેખાખંડ $$AB$$ પરના સમાન લંબ આપેલ છે. $$\Delta AOD$$ અને $$\Delta BOC$$ માટે (1) $$\angle A = \angle B$$ (કાટખૂણા) (2) $$AD = BC $$(પ્રશ્નમાં આપેલ છે.) (3) $$\angle AOD = \angle BOC$$ (સામસામેના વિરોધી ખૂણા) આમ, ખુબાખુ શરત અનુસાર $$\Delta AOD≅\Delta BOC$$ થશે. આથી, $$AO = OB$$ આમ, કહી શકાય કે $$CD$$ એ $$AB$$ ને દુભાગે છે.

અહી p || q અને l || m આપેલ છે. $$\Delta ABC$$ અને $$\Delta CDA$$ માટે, (1) $$\angle BCA = \angle DAC$$ (યુગ્મકોણની જોડ) (2) $$\angle BAC = \angle DCA$$ (યુગ્મકોણની જોડ) (3) $$AC = CA$$ (સમાન બાજુ) આમ, ખૂબાખુ શરત અનુસાર $$\Delta ABC ≅ \Delta CDA$$ થશે.

અહી, રેખા $$l$$ એ $$\angle A$$ નો દ્વિભાજક છે તથા $$B$$ એ રેખા $$l$$ પરનું કોઈ બિંદુ છે. $$BP$$ અને $$BQ$$ એ $$B$$ માંથી $$\angle A$$ ની બાજુઓ પરના લંબ છે. (i) $$\Delta APB ≅ \Delta AQB$$ $$\Delta APB$$ અને $$\Delta AQB$$ માટે, $$\angle P = \angle Q $$(કાટખૂણા) $$AB = AB$$ (સામાન્ય બાજુ) $$\angle BAP = \angle BAQ$$ (રેખા l એ $$\angle A$$ નો દ્વિભાજક છે.) આમ, બાખુબા શરત અનુસાર $$\Delta APB ≅ \Delta AQB$$ થશે. --- (ii) $$BP = BQ$$ અથવા $$B$$ એ $$\angle A$$ ની બાજુઓથી સમાન અંતરે આવેલ છે. અહી, $$\Delta APB ≅ \Delta AQB$$ હોવાથી, $$BP = BQ$$ અથવા $$B$$ એ $$\angle A$$ ની બાજુઓથી સમાન અંતરે આવેલ છે તેમ કહી શકાય.

અહી આપેલ છે કે $$AC = AE, AB = AD$$ અને $$\angle BAD = \angle EAC$$. $$\angle BAD = \angle EAC$$ $$\therefore \angle BAD + \angle DAC = \angle EAC + \angle DAC$$ (બંને બાજુ $$\angle DAC$$ ઉમેરતા) $$\therefore \angle BAC = \angle EAD$$ -----(1) હવે $$\Delta ABC$$ અને $$\Delta ADE$$ માટે, (1) $$AC = AE$$ (પ્રશ્નમા આપેલ છે.) (2) $$\angle BAC = \angle EAD$$ ((1) પરથી) (3) $$AC = CA$$ (પ્રશ્નમા આપેલ છે.) આમ, બાખુબા શરત અનુસાર $$\Delta ABC ≅ \Delta ADE$$ થશે. આથી, કહી શકાય કે $$BC = DE$$ થશે.

અહી, $$AB$$ એક રેખાખંડ છે અને $$P$$ તેનું મધ્યબિંદુ છે. $$\angle BAD = \angle ABE$$ અને $$\angle EPA = \angle DPB$$ થાય તેવાં બિંદુઓ $$D$$ તથા $$E$$ રેખા $$AB$$ ની એક બાજુએ આવેલ છે, એમ આપેલ છે. $$\angle EPA = \angle DPB$$ $$\therefore \angle EPA + \angle DPE= \angle DPB + \angle DPE$$ (બંને બાજુ $$\angle DPE$$ ઉમેરતા) $$\therefore \angle DPA = \angle EPB$$ -----(1) (i) $$\Delta DAP ≅ \Delta EBP$$ હવે, $$\Delta DAP$$ અને $$\Delta EBP$$ માટે, (1) $$AP = BP$$ (P એ AB નું મધ્યબિંદુ છે.) (2) $$\angle DPA = \angle EPB$$ ((1) પરથી) (3) $$\angle BAD = \angle ABE$$ (પ્રશ્નમા આપેલ છે.) આમ, ખુબાખુ શરત અનુસાર $$\Delta DAP ≅ \Delta EBP$$ થશે. --- (ii) AD = BE અહી, $$\Delta DAP ≅ \Delta EBP$$ હોવાથી $$AD = BE$$ થશે.

અહી આપેલ છે કે કાટકોણ ત્રિકોણ $$ABC$$ માં $$\angle C$$ કાટખૂણો છે. $$M$$ એ કર્ણ $$AB$$ નું મધ્યબિંદુ છે. $$DM = CM$$ થાય તે રીતે $$C$$ ને $$M$$ સાથે જોડી $$D$$ સુધી લંબાવો. (i) $$\Delta AMC ≅ \Delta BMD$$ હવે, $$\Delta AMC$$ અને $$\Delta BMD$$ માટે, (1) $$AM = BM $$ (M એ કર્ણ AB નું મધ્યબિંદુ છે.) (2) $$CM = DM$$ (પ્રશ્નમા આપેલ છે.) (3) $$\angle CMA = \angle DMB $$ (સામસામેના વિરોધી ખૂણા) આમ, બાખુબા શરત અનુસાર $$\Delta AMC ≅ \Delta BMD$$ થશે. --- (ii) $$\angle DBC$$ કાટકોણ છે. $$\angle ACM = \angle BDM$$ (યુગ્મકોણ) અહી, $$AC || BD$$ થશે. $$\therefore \angle ACB + \angle DBC = 180\degree$$ $$\therefore 90\degree + \angle B = 180\degree$$ $$\angle DBC = 90\degree $$ --- (iii) $$\Delta DBC≅ \Delta ACB$$ હવે, $$\Delta DBC$$ અને $$\Delta ACB$$ માટે, (1) $$BC = CB$$ (સામાન્ય બાજુ) (2) $$DB = AC$$ (પ્રશ્નમા આપેલ છે.) (3) $$\angle ACB = \angle DBC $$ (કાટખૂણા) આમ, બાખુબા શરત અનુસાર $$\Delta DBC$$ ≅ $$\Delta ACB$$ થશે. --- (iv) $$CM = \frac{1}{2}AB$$ અહી, $$\Delta DBC ≅ \Delta ACB$$ હોવાથી, $$DM = CM = AM = BM$$ (M એ કર્ણ AB નું મધ્યબિંદુ છે.) $$\therefore DM + CM = BM+AM$$ $$\therefore CM + CM = AB$$ $$\therefore CM = \frac{1}{2}AB$$

(i) $$OB = OC$$ અહી, $$ABC$$ એ સમદ્વિબાજુ ત્રિકોણ છે. (1) $$\angle B=\angle C$$ (પ્રશ્નમા આપેલ છે.) (2) $$ AB = AC$$ (પ્રશ્નમા આપેલ છે.) (3) $$\angle OBC = \angle OCB $$ (દ્વિભાજીત ખુણો) આથી, $$OB = OC$$ થશે.

--- (ii) $$AO$$ એ $$\angle A$$ નો દ્વિભાજક છે. હવે, $$\Delta AOB$$ અને $$\Delta AOC$$ માટે, (1) $$AO = AO$$ (સામાન્ય બાજુ) (2) $$AB = AC$$ (પ્રશ્નમા આપેલ છે.) (3) $$\angle AOB = \angle AOC$$ (કાટખૂણા) આમ, બાખુબા શરત અનુસાર $$\Delta BAO ≅ \Delta CAO$$ થશે. આથી, $$AO$$ એ $$\angle A$$ નો દ્વિભાજક છે.

અહી, $$\Delta ABC$$ માં $$AD$$ એ $$BC$$ નો લંબદ્વિભાજક છે તેમ આપેલ છે. હવે, $$\Delta ADB$$ અને $$\Delta ADC$$ માટે, (1) $$AD = AD $$ (સામાન્ય બાજુ) (2) $$BD = CD$$ (AD એ BC નો લંબદ્વિભાજક છે.) (3) $$\angle ADB = \angle ADC$$ (કાટખૂણા) આમ, બાખુબા શરત અનુસાર $$\Delta ADB ≅ \Delta ADC$$ થશે. આથી, $$AB = AC$$ થશે.

અહી, $$BE$$ અને $$CF$$ વેધ છે તથા $$AC = AB$$ છે. હવે, $$\Delta AEB$$ અને $$\Delta AFC$$ માટે, (1) $$\angle AEB = \angle AFC $$ (કાટખૂણો) (2) $$AB = AC$$ (પ્રશ્નમા આપેલ છે.) (3) $$\angle A = \angle A$$ (સામાન્ય ખુણો) આમ, ખુબાખુ શરત અનુસાર $$\Delta AEB ≅ \Delta AFC$$ થશે. આથી, $$BE = CF$$ થશે.

અહી, $$BE = CF$$ છે. (i) $$\Delta ABE ≅ \Delta ACF$$ હવે, $$\Delta ABE$$ અને $$\Delta ACF$$ માટે, (1) $$\angle A = \angle A $$ (સામાન્ય ખુણો) (2) $$BE = CF $$ (પ્રશ્નમા આપેલ છે.) (3) $$\angle AEB = \angle AFC$$ (કાટખૂણો) આમ, ખુબાખુ શરત અનુસાર $$\Delta ABE≅\Delta ACF$$ થશે. --- (ii) $$AB = AC$$, અર્થાત્ $$ABC$$ એ સમદ્વિબાજુ ત્રિકોણ છે. અહી, $$\Delta ABE≅\Delta ACF$$ હોવાથી, $$AB = AC$$ થશે.

અહી, $$ABC$$ અને $$DBC$$ એ સમાન પાયા $$BC$$ પર આવેલા બે સમદ્વિબાજુ ત્રિકોણ છે. (1) $$AD = AD$$ (સામાન્ય બાજુ) (2) $$AB = AC$$ (ABC એ સમદ્વિબાજુ ત્રિકોણ છે.) (3) $$BD = CD$$ (DBC એ સમદ્વિબાજુ ત્રિકોણ છે.) આમ, બાબાબા શરત અનુસાર $$\Delta ABD ≅ \Delta ACD$$ થશે. $$\therefore \angle ABD = \angle ACD$$

અહી, $$AB = AC$$ અને $$AD = AB$$ છે. $$\Delta ABC$$ પરથી, $$AB = AC $$ (પ્રશ્નમા આપેલ છે.) $$\angle ACB = \angle ABC$$ (સમાન બાજુની સામેના ખૂણા સમાન હોય છે.) $$\Delta ACD$$ પરથી, $$AD = AB = AC$$ (પ્રશ્નમા આપેલ છે.) $$\angle ADC = \angle ACD$$ (સમાન બાજુની સામેના ખૂણા સમાન હોય છે.) $$\Delta ABC$$ માટે, $$\angle CAB + \angle ACB + \angle ABC = 180\degree$$ $$\therefore \angle CAB + 2\angle ACB = 180\degree$$ $$\therefore \angle CAB = 180\degree – 2\angle ACB$$ — (1) $$\Delta ADC$$ માટે, $$\therefore \angle CAD = 180\degree – 2\angle ACD$$ — (2) BD એ એક સીધી રેખા હોવાથી, $$\therefore \angle CAB + \angle CAD = 180\degree$$ $$\therefore \angle CAB + \angle CAD = 180\degree – 2\angle ACB+180\degree – 2\angle ACD$$ $$\therefore 180\degree = 360\degree – 2\angle ACB-2\angle ACD$$ $$\therefore 2(\angle ACB+\angle ACD) = 180\degree$$ $$\therefore \angle BCD = 90\degree$$

અહી, $$\angle A = 90\degree$$ અને $$AB = AC$$ હોય તેવો કાટકોણ ત્રિકોણ $$ABC$$ છે. $$\angle B = \angle C$$ (સમાન ખૂણાની સામેના બાજુ સમાન હોય છે.) $$\therefore \angle A + \angle B + \angle C = 180\degree$$ $$\therefore 90\degree + 2\angle B = 180\degree$$ $$\therefore 2\angle B = 90\degree$$ $$\therefore \angle B = 45\degree$$ $$\therefore \angle B = \angle C = 45\degree$$

સમબાજુ ત્રિકોણ $$ABC$$ માટે $$BC = AC = AB$$ થશે. આથી, $$\angle A + \angle B + \angle C = 180\degree$$ $$\therefore 3\angle A = 180\degree$$ $$\therefore \angle A = 60\degree$$ $$\therefore \angle A = \angle B = \angle C = 60\degree$$ આમ, સમબાજુ ત્રિકોણના બધા જ ખૂણાનાં માપ $$60\degree$$ હોય.

અહી, $$\Delta ABC$$ અને $$\Delta DBC$$ સમાન પાયા BC પર આવેલા બે સમદ્વિબાજુ ત્રિકોણ છે અને શિરોબિંદુઓ $$A$$ અને $$D$$ એ $$BC$$ ની એક જ બાજુએ આવેલ છે. (i) $$\Delta ABD$$ ≅ $$\Delta ACD$$ અહી, $$\Delta ABD$$ અને $$\Delta ACD$$ માટે, (1) $$AD = AD$$ (સામાન્ય બાજુ) (2) $$AB = AC$$ (ABC એ સમદ્વિબાજુ ત્રિકોણ છે.) (3) $$BD = CD$$ (DBC એ સમદ્વિબાજુ ત્રિકોણ છે.) આમ, બાબાબા શરત અનુસાર $$\Delta ABD$$ ≅ $$\Delta ACD$$ થશે. --- (ii) $$\Delta ABP$$ ≅ $$\Delta ACP$$ (1) $$AP = AP$$ (સામાન્ય બાજુ) (2) $$AB = AC$$ (ABC એ સમદ્વિબાજુ ત્રિકોણ છે.) (3) $$\angle PAB = \angle PAC (\Delta ABD ≅ \Delta ACD$$) આમ, બાખુબા શરત અનુસાર $$\Delta ABP$$ ≅ $$\Delta ACP$$ થશે. --- (iii) $$AP$$ એ $$\angle A$$ તથા $$\angle D$$ ને દુભાગે છે. $$\angle PAB = \angle PAC$$ અહી, $$\Delta BPD$$ અને $$\Delta CPD$$ માટે, (1) $$PD = PD$$ (સામાન્ય બાજુ) (2) $$BD = CD$$ (ABC એ સમદ્વિબાજુ ત્રિકોણ છે.) (3) $$BP = CP (\Delta ABD ≅ \Delta ACD$$.) આમ, બાબાબા શરત અનુસાર $$\Delta BPD ≅ \Delta CPD$$ થશે. આમ, $$AP$$ એ $$\angle A$$ તથા $$\angle D$$ ને દુભાગે છે. --- (iv) AP એ BC નો લંબદ્વિભાજક છે. અહી, $$\angle BPD = \angle CPD$$ અને BP = CP છે. $$\therefore \angle BPD +\angle CPD = 180\angle$$ (BC સીધી રેખા છે.) $$\therefore 2\angle BPD = 180\angle$$ $$\therefore \angle BPD = 90\angle$$ આમ, $$AP$$ એ $$BC$$ નો લંબદ્વિભાજક છે.

(i) $$AD$$ એ $$BC$$ ને દુભાગે છે. $$\angle ADB = \angle ADC $$ (કાટખૂણો) $$AB = AC$$ (પ્રશ્નમા આપેલ છે.) $$AD = AD$$ (સામાન્ય બાજુ) આમ, બાખુબા શરત અનુસાર $$\Delta ABD ≅ \Delta ACD$$ થશે. $$\therefore BD = CD.$$ આમ, $$AD$$ એ $$BC$$ ને દુભાગે છે. --- (ii) AD એ $$\angle A$$ ને દુભાગે છે. અહી, $$\Delta ABD ≅ \Delta ACD$$ હોવાથી, કહી શકાય કે AD એ $$\angle A$$ ને દુભાગે છે.

(i) $$\Delta ABM ≅ \Delta PQN$$ અહી, $$AB = PQ, BC = QR$$ અને $$AM = PN$$ આપેલ છે. $$BC = QR$$ હોવાથી, $$BM = QN$$ થશે. અહી, $$\Delta ABM$$ અને $$\Delta PQN$$ માટે, (1) $$AM = PN$$ (પ્રશ્નમા આપેલ છે.) (2) $$AB = PQ$$ (પ્રશ્નમા આપેલ છે.) (3) $$BM = QN$$ (ઉપર મુજબ) આમ, બાબાબા શરત અનુસાર $$\Delta ABM ≅ \Delta PQN$$ થશે. --- (ii) $$\Delta ABC ≅ \Delta PQR$$ અહી, $$\Delta ABC$$ અને $$\Delta PQR$$ માટે, (1) $$BC = QR$$ (પ્રશ્નમા આપેલ છે.) (2) $$AB = PQ$$ (પ્રશ્નમા આપેલ છે.) (3) $$\angle ABC = \angle PQR (\Delta ABM ≅ \Delta PQN$$) આમ, બાખુબા શરત અનુસાર $$\Delta ABC ≅ \Delta PQR$$ થશે.

અહી, $$BE = CF$$ આપેલ છે. અહી, $$\Delta BEC$$ અને $$\Delta CFB$$ માટે, (1) $$BC = CB$$ (સામાન્ય બાજુ) (2) $$\angle BEC = \angle CFB$$ (કાટખૂણો) (3) $$BE = CF$$ (સામાન્ય બાજુ) આમ, બાખુબા શરત અનુસાર $$\Delta BEC ≅ \Delta CFB$$ થશે. આથી, $$\angle C = \angle B$$ $$\therefore AB = AC$$ આમ, $$ABC$$ સમદ્ધિબાજુ ત્રિકોણ છે.

અહી, $$AB = AC$$ હોય તેવો સમદ્વિબાજુ ત્રિકોણ $$ABC$$ આપેલ છે. અહી, $$\Delta ABP$$ અને $$\Delta ACP$$ માટે, (1) $$AP = AP$$ (સામાન્ય બાજુ) (2) $$\angle APB = \angle APC$$ (કાટખૂણો) (3) $$AB = AC$$ (પ્રશ્નમા આપેલ છે.) આમ, બાખુબા શરત અનુસાર $$\Delta ABP ≅ \Delta ACP$$ થશે. $$\therefore \angle B = \angle C$$