સ્વાધ્યાય: ઘન અને ઘનમૂળ

### (i) 216 આપણે જાણીએ છીએ કે 216 ને અવિભાજ્ય અવયવોમાં વિભાજિત કરતાં, $$\therefore 216 = 2 \times 2 \times 2 \times 3 \times 3 \times 3$$ $$\therefore 216 = \underline {2 \times 2 \times 2} \times \underline {3 \times 3 \times 3} $$ તેથી 216 પૂર્ણઘન છે. કેમ કે અવયવ 2 અને 3 ત્રણ વાર આવે છે. --- ### (ii) 128 આપણે જાણીએ છીએ કે 128 ને અવિભાજ્ય અવયવોમાં વિભાજિત કરતાં, $$\therefore 128 = 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2$$ $$\therefore 128 = \underline {2 \times 2 \times 2} \times \underline {2 \times 2 \times 2} \times2$$ તેથી 128 પૂર્ણઘન નથી. કેમ કે અવયવ 2 એ છ વાર આવે છે, પણ અંતે એક 2 એકલો રહી જાય છે. --- ### (iii) 1000 આપણે જાણીએ છીએ કે 1000 ને અવિભાજ્ય અવયવોમાં વિભાજિત કરતાં, $$\therefore 1000 = 2 \times 2 \times 2 \times 5 \times 5 \times 5$$ $$\therefore 1000 = \underline {2 \times 2 \times 2} \times \underline {5 \times 5 \times 5} $$ તેથી 1000 પૂર્ણઘન છે. કેમ કે અવયવ 2 અને 5 ત્રણ વાર આવે છે. --- ### (iv) 100 આપણે જાણીએ છીએ કે 100 ને અવિભાજ્ય અવયવોમાં વિભાજિત કરતાં, $$\therefore 100 = 2 \times 2 \times 5 \times 5$$ તેથી 100 પૂર્ણઘન નથી. કેમ કે અવયવ 2 અને 5 માત્ર બે વાર આવે છે. --- ### (v) 46656 આપણે જાણીએ છીએ કે 46656 ને અવિભાજ્ય અવયવોમાં વિભાજિત કરતાં, $$\therefore 46656 = 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 3 \times 3 \times 3\times 3 \times 3 \times 3$$ $$\therefore 46656 = \underline {2 \times 2 \times 2} \times \underline {2 \times 2 \times 2} \times\underline {3 \times 3 \times 3} \times \underline {3 \times 3 \times 3} $$ તેથી 46656 પૂર્ણઘન છે. કેમ કે અવયવ 2 અને 3 છ વાર આવે છે.

### (i) 243 આપણે જાણીએ છીએ કે 243 ને અવિભાજ્ય અવયવોમાં વિભાજિત કરતાં, $$\therefore 243 = 3 \times 3 \times 3\times 3 \times 3 $$ $$\therefore 243 = \underline {3 \times 3 \times 3} \times {3 \times 3} $$ અહીં અવિભાજ્ય અવયવ 3 એ ત્રણ વાર આવતો નથી. તેથી 243 એ પૂર્ણધન સંખ્યા નથી. તેને પૂર્ણઘન બનાવવા માટે હજુ એક વાર 3 જોઈએ. તેથી આ કિસ્સામાં $$243 \times 3 = 729$$ મળે, જે પૂર્ણઘન સંખ્યા છે. તેથી 3 એ એવી નાનામાં નાની પ્રાકૃતિક સંખ્યા છે કે જેને 243 સાથે ગુણવાથી મળતી નવી સંખ્યા 729 પૂર્ણઘન સંખ્યા મળે. --- ### (ii) 256 આપણે જાણીએ છીએ કે 256 ને અવિભાજ્ય અવયવોમાં વિભાજિત કરતાં, $$\therefore 256 = 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2$$ $$\therefore 256 = \underline {2 \times 2 \times 2 } \times \underline {2 \times 2 \times 2 } \times 2 \times 2 $$ અહીં અવિભાજ્ય અવયવ 2 એ ત્રણ વાર આવતો નથી. તેથી 256 એ પૂર્ણધન સંખ્યા નથી. તેને પૂર્ણઘન બનાવવા માટે હજુ એક વાર 2 જોઈએ. તેથી આ કિસ્સામાં $$256 \times 2 = 512$$ મળે, જે પૂર્ણઘન સંખ્યા છે. તેથી 2 એ એવી નાનામાં નાની પ્રાકૃતિક સંખ્યા છે કે જેને 256 સાથે ગુણવાથી મળતી નવી સંખ્યા 512 પૂર્ણઘન સંખ્યા મળે. --- ### (iii) 72 આપણે જાણીએ છીએ કે 72 ને અવિભાજ્ય અવયવોમાં વિભાજિત કરતાં, $$\therefore 72 = 2 \times 2 \times 2 \times 3 \times 3 $$ $$\therefore 72 = \underline {2 \times 2 \times 2} \times 3 \times 3 $$ અહીં અવિભાજ્ય અવયવ 3 એ ત્રણ વાર આવતો નથી. તેથી 72 એ પૂર્ણધન સંખ્યા નથી. તેને પૂર્ણઘન બનાવવા માટે હજુ એક વાર 3 જોઈએ. તેથી આ કિસ્સામાં $$72 \times 3 = 216$$ મળે, જે પૂર્ણઘન સંખ્યા છે. તેથી 2 એ એવી નાનામાં નાની પ્રાકૃતિક સંખ્યા છે કે જેને 72 સાથે ગુણવાથી મળતી નવી સંખ્યા 216 પૂર્ણઘન સંખ્યા મળે. --- ### (iv) 675 આપણે જાણીએ છીએ કે 675 ને અવિભાજ્ય અવયવોમાં વિભાજિત કરતાં, $$\therefore 675 = 3 \times 3 \times 3 \times 5 \times 5 $$ $$\therefore 675 = \underline {3 \times 3 \times 3 } \times 5 \times 5 $$ અહીં અવિભાજ્ય અવયવ 5 એ ત્રણ વાર આવતો નથી. તેથી 675 એ પૂર્ણધન સંખ્યા નથી. તેને પૂર્ણઘન બનાવવા માટે હજુ એક વાર 5 જોઈએ. તેથી આ કિસ્સામાં $$675 \times 5 = 3375$$ મળે, જે પૂર્ણઘન સંખ્યા છે. તેથી 5 એ એવી નાનામાં નાની પ્રાકૃતિક સંખ્યા છે કે જેને 675 સાથે ગુણવાથી મળતી નવી સંખ્યા 3375 પૂર્ણઘન સંખ્યા મળે. --- ### (v) 100 આપણે જાણીએ છીએ કે 100 ને અવિભાજ્ય અવયવોમાં વિભાજિત કરતાં, $$\therefore 100 = 2 \times 2 \times 5 \times 5$$ અહીં અવિભાજ્ય અવયવ 2 અને 5 એ ત્રણ વાર આવતા નથી. તેથી 100 એ પૂર્ણધન સંખ્યા નથી. તેને પૂર્ણઘન બનાવવા માટે હજુ એક વાર 2 અને 5 જોઈએ. તેથી આ કિસ્સામાં $$100 \times 2 \times 5 = 1000$$ મળે, જે પૂર્ણઘન સંખ્યા છે. તેથી 10 એ એવી નાનામાં નાની પ્રાકૃતિક સંખ્યા છે કે જેને 100 સાથે ગુણવાથી મળતી નવી સંખ્યા 1000 પૂર્ણઘન સંખ્યા મળે.

### (i) 81 આપણે જાણીએ છીએ કે 81 ને અવિભાજ્ય અવયવોમાં વિભાજિત કરતાં, $$ \therefore 81 = 3 \times 3 \times 3 \times 3 $$ $$\therefore 81 = \underline {3 \times 3 \times 3 } \times 3 $$ અહીં અવિભાજ્ય અવયવ 3 એ ત્રણ વાર આવતો નથી. તેથી 81 એ પૂર્ણધન સંખ્યા નથી. તેને પૂર્ણઘન બનાવવા માટે 81 ને 3 વડે ભાગવી જોઈએ. તેથી આ કિસ્સામાં $$\frac{81}{3} = 27$$ મળે, જે પૂર્ણઘન સંખ્યા છે. આમ, 81 ને નાનામાં નાની પ્રાકૃતિક સંખ્યા 3 વડે ભાગતા આપણને પૂર્ણઘન સંખ્યા 27 મળે છે. --- ### (ii) 128 આપણે જાણીએ છીએ કે 128 ને અવિભાજ્ય અવયવોમાં વિભાજિત કરતાં, $$ \therefore 128 = 2 \times 2\times 2 \times 2 \times 2\times 2 \times 2 $$ $$\therefore 128 = \underline { 2\times 2 \times 2} \times \underline { 2\times 2 \times 2} \times2 $$ અહીં અવિભાજ્ય અવયવ 2 એ ત્રણ વાર આવતો નથી. તેથી 128 એ પૂર્ણધન સંખ્યા નથી. તેને પૂર્ણઘન બનાવવા માટે 128 ને 2 વડે ભાગવી જોઈએ. તેથી આ કિસ્સામાં $$\frac{128}{2} = 64$$ મળે, જે પૂર્ણઘન સંખ્યા છે. આમ, 128 ને નાનામાં નાની પ્રાકૃતિક સંખ્યા 2 વડે ભાગતા આપણને પૂર્ણઘન સંખ્યા 64 મળે છે. --- ### (iii) 135 આપણે જાણીએ છીએ કે 81 ને અવિભાજ્ય અવયવોમાં વિભાજિત કરતાં, $$ \therefore 135 = 3 \times 3 \times 3 \times 5 $$ $$\therefore 135 = \underline {3 \times 3 \times 3 } \times 5 $$ અહીં અવિભાજ્ય અવયવ 5 એ ત્રણ વાર આવતો નથી. તેથી 135 એ પૂર્ણધન સંખ્યા નથી. તેને પૂર્ણઘન બનાવવા માટે 135 ને 5 વડે ભાગવી જોઈએ. તેથી આ કિસ્સામાં $$\frac{135}{5} = 27$$ મળે, જે પૂર્ણઘન સંખ્યા છે. આમ, 135 ને નાનામાં નાની પ્રાકૃતિક સંખ્યા 5 વડે ભાગતા આપણને પૂર્ણઘન સંખ્યા 27 મળે છે. --- ### (iv) 192 આપણે જાણીએ છીએ કે 192 ને અવિભાજ્ય અવયવોમાં વિભાજિત કરતાં, $$ \therefore 192 = 2 \times 2\times 2 \times 2 \times 2\times 2 \times 3 $$ $$\therefore 192 = \underline { 2\times 2 \times 2} \times \underline { 2\times 2 \times 2} \times3 $$ અહીં અવિભાજ્ય અવયવ 3 એ ત્રણ વાર આવતો નથી. તેથી 192 એ પૂર્ણધન સંખ્યા નથી. તેને પૂર્ણઘન બનાવવા માટે 192 ને 3 વડે ભાગવી જોઈએ. તેથી આ કિસ્સામાં $$\frac{192}{3} = 64$$ મળે, જે પૂર્ણઘન સંખ્યા છે. આમ, 192 ને નાનામાં નાની પ્રાકૃતિક સંખ્યા 3 વડે ભાગતા આપણને પૂર્ણઘન સંખ્યા 64 મળે છે. --- ### (v) 704 આપણે જાણીએ છીએ કે 704 ને અવિભાજ્ય અવયવોમાં વિભાજિત કરતાં, $$ \therefore 704 = 2 \times 2\times 2 \times 2 \times 2\times 2 \times 11 $$ $$\therefore 704 = \underline { 2\times 2 \times 2} \times \underline { 2\times 2 \times 2} \times11 $$ અહીં અવિભાજ્ય અવયવ 11 એ ત્રણ વાર આવતો નથી. તેથી 704 એ પૂર્ણધન સંખ્યા નથી. તેને પૂર્ણઘન બનાવવા માટે 704 ને 11 વડે ભાગવી જોઈએ. તેથી આ કિસ્સામાં $$\frac{704}{11} = 64$$ મળે, જે પૂર્ણઘન સંખ્યા છે. આમ, 704 ને નાનામાં નાની પ્રાકૃતિક સંખ્યા 11 વડે ભાગતા આપણને પૂર્ણઘન સંખ્યા 64 મળે છે.

અહી આપેલ લંબઘનની બાજુઓના માપ 5 સેમી, 2 સેમી અને 5 સેમી છે. આથી, લંબઘનનું ઘનફળ = $$ 5 \times 2 \times 5 $$ અહી, 2, 5 અને 5 એ ઘનફળ માટે ત્રણનું જુથ બનાવતુ નથી. આથી 50 ને $$ 2 \times 2 \times 5 $$ વડે ગુણતા આપણનેં એક ઘન મળે છે. આમ, અહી $$ 2 \times 2 \times 5 = 20 $$ લંબઘનની જરૂર પડે.

### (i) 64 આપણે જાણીએ છીએ કે 64 ને અવિભાજ્ય અવયવોમાં વિભાજિત કરતાં, $$ \therefore 64 = 2 \times 2\times 2 \times 2 \times 2\times 2 $$ $$\therefore 64 = \underline { 2\times 2 \times 2} \times \underline { 2\times 2 \times 2}$$ $$\therefore \sqrt[3]{64} = \sqrt[3]{ \underline { 2\times 2 \times 2} \times \underline { 2\times 2 \times 2}}$$ $$\therefore \sqrt[3]{64} = 2\times 2 $$ $$\therefore \sqrt[3]{64} = 4$$ આમ, 64 નું ઘનમૂળ 4 થશે. --- ### (ii) 512 આપણે જાણીએ છીએ કે 512 ને અવિભાજ્ય અવયવોમાં વિભાજિત કરતાં, $$ \therefore 512 = 2 \times 2\times 2 \times 2 \times 2\times 2\times 2\times 2 \times 2 $$ $$\therefore 512 = \underline { 2\times 2 \times 2} \times \underline { 2\times 2 \times 2}\times \underline { 2\times 2 \times 2}$$ $$\therefore \sqrt[3]{512} = \sqrt[3]{ \underline { 2\times 2 \times 2} \times \underline { 2\times 2 \times 2}\times \underline { 2\times 2 \times 2}}$$ $$\therefore \sqrt[3]{512} = 2\times 2\times 2 $$ $$\therefore \sqrt[3]{512} = 8$$ આમ, 512 નું ઘનમૂળ 8 થશે. --- ### (iii) 10648 આપણે જાણીએ છીએ કે 10648 ને અવિભાજ્ય અવયવોમાં વિભાજિત કરતાં, $$ \therefore 10648 = 2 \times 2\times 2 \times 11 \times 11\times11$$ $$\therefore 10648 = \underline { 2\times 2 \times 2} \times \underline {11 \times 11\times11} $$ $$\therefore \sqrt[3]{10648} = \sqrt[3]{\underline { 2\times 2 \times 2} \times \underline {11 \times 11\times11}}$$ $$\therefore \sqrt[3]{10648} = 2\times 11$$ $$\therefore \sqrt[3]{10648} = 22$$ આમ, 10648 નું ઘનમૂળ 22 થશે. --- ### (iv) 27000 આપણે જાણીએ છીએ કે 27000 ને અવિભાજ્ય અવયવોમાં વિભાજિત કરતાં, $$ \therefore 27000 = 2 \times 2\times 2 \times 3 \times 3\times 3\times 5\times 5 \times 5 $$ $$\therefore 27000 = \underline { 2\times 2 \times 2} \times \underline { 3 \times 3\times 3}\times \underline {5\times 5 \times 5}$$ $$\therefore \sqrt[3]{27000} = \sqrt[3]{ \underline { 2\times 2 \times 2} \times \underline {3 \times 3\times 3}\times \underline {5\times 5 \times 5}}$$ $$\therefore \sqrt[3]{27000} = 2\times 3\times 5 $$ $$\therefore \sqrt[3]{27000} = 30$$ આમ, 27000 નું ઘનમૂળ 30 થશે. --- ### (v) 15625 આપણે જાણીએ છીએ કે 15625 ને અવિભાજ્ય અવયવોમાં વિભાજિત કરતાં, $$ \therefore 15625 = 5\times 5 \times 5 \times 5 \times 5 \times 5$$ $$\therefore 15625 = \underline { 5\times 5 \times 5} \times \underline {5\times 5 \times 5}$$ $$\therefore \sqrt[3]{15625} = \sqrt[3]{ \underline { 5\times 5 \times 5} \times \underline {5\times 5 \times 5}}$$ $$\therefore \sqrt[3]{15625} = 5\times 5 $$ $$\therefore \sqrt[3]{15625} = 25$$ આમ, 15625 નું ઘનમૂળ 25 થશે. --- ### (vi) 13824 આપણે જાણીએ છીએ કે 13824 ને અવિભાજ્ય અવયવોમાં વિભાજિત કરતાં, $$ \therefore13824 = 2 \times 2\times 2 \times 2 \times 2\times 2\times 2\times 2 \times 2 \times 3 \times 3\times 3$$ $$\therefore 13824 = \underline { 2\times 2 \times 2} \times \underline { 2\times 2 \times 2}\times \underline { 2\times 2 \times 2} \times \underline { 3 \times 3\times 3}$$ $$\therefore \sqrt[3]{13824} = \sqrt[3]{ \underline { 2\times 2 \times 2} \times \underline { 2\times 2 \times 2}\times \underline { 2\times 2 \times 2}\times \underline { 3 \times 3\times 3}}$$ $$\therefore \sqrt[3]{13824} = 2\times 2\times 2\times 3$$ $$\therefore \sqrt[3]{13824} = 24$$ આમ, 13824નું ઘનમૂળ 24 થશે. --- ### (vii) 110592 આપણે જાણીએ છીએ કે 110592 ને અવિભાજ્ય અવયવોમાં વિભાજિત કરતાં, $$ \therefore110592 = 2 \times 2\times 2 \times 2\times 2\times 2 \times 2 \times 2\times 2\times 2\times 2 \times 2 \times 3 \times 3\times 3$$ $$\therefore 110592 = \underline { 2\times 2 \times 2} \times \underline { 2\times 2 \times 2}\times \underline { 2\times 2 \times 2}\times \underline { 2\times 2 \times 2} \times \underline { 3 \times 3\times 3}$$ $$\therefore \sqrt[3]{110592} = \sqrt[3]{ \underline { 2\times 2 \times 2} \times \underline { 2\times 2 \times 2}\times \underline { 2\times 2 \times 2}\times \underline { 2\times 2 \times 2}\times \underline { 3 \times 3\times 3}}$$ $$\therefore \sqrt[3]{110592} = 2\times 2\times 2\times 2\times 3$$ $$\therefore \sqrt[3]{110592} = 48$$ આમ, 110592નું ઘનમૂળ 48 થશે. --- ### (viii) 46656 આપણે જાણીએ છીએ કે 46656 ને અવિભાજ્ય અવયવોમાં વિભાજિત કરતાં, $$ \therefore46656 = 2\times 2\times 2 \times 2 \times 2\times 2\times 3 \times 3\times 3\times 3 \times 3\times 3$$ $$\therefore 46656 = \underline { 2\times 2 \times 2}\times \underline { 2\times 2 \times 2}\times \underline { 3 \times 3\times 3}\times \underline { 3 \times 3\times 3}$$ $$\therefore \sqrt[3]{46656} = \sqrt[3]{\underline { 2\times 2 \times 2}\times \underline { 2\times 2 \times 2}\times \underline { 3 \times 3\times 3}\times \underline { 3 \times 3\times 3}}$$ $$\therefore \sqrt[3]{46656} = 2\times 2\times 3\times 3$$ $$\therefore \sqrt[3]{46656} = 36$$ આમ, 46656નું ઘનમૂળ 36 થશે. --- ### (ix) 175616 આપણે જાણીએ છીએ કે 175616 ને અવિભાજ્ય અવયવોમાં વિભાજિત કરતાં, $$ \therefore175616 = 2\times 2\times 2 \times 2 \times 2\times 2\times 2\times 2 \times 2 \times 7 \times 7\times 7$$ $$\therefore 175616 = \times \underline { 2\times 2 \times 2}\times \underline { 2\times 2 \times 2}\times \underline { 2\times 2 \times 2} \times \underline {7 \times 7\times 7}$$ $$\therefore \sqrt[3]{175616} = \sqrt[3]{ \underline { 2\times 2 \times 2}\times \underline { 2\times 2 \times 2}\times \underline { 2\times 2 \times 2}\times \underline {7 \times 7\times 7}}$$ $$\therefore \sqrt[3]{175616} = 2\times 2\times 2\times 7$$ $$\therefore \sqrt[3]{175616} = 56$$ આમ, 175616 નું ઘનમૂળ 56 થશે. --- ### (x) 91125 આપણે જાણીએ છીએ કે 91125 ને અવિભાજ્ય અવયવોમાં વિભાજિત કરતાં, $$ \therefore 91125 = 3 \times 3\times 3 \times 3 \times 3\times 3\times 5\times 5 \times 5 $$ $$\therefore 91125 = \underline { 3 \times 3\times 3} \times \underline { 3 \times 3\times 3}\times \underline {5\times 5 \times 5}$$ $$\therefore \sqrt[3]{91125} = \sqrt[3]{ \underline { 3 \times 3\times 3}\times \underline {3 \times 3\times 3}\times \underline {5\times 5 \times 5}}$$ $$\therefore \sqrt[3]{91125} = 3\times 3\times 5 $$ $$\therefore \sqrt[3]{91125} = 45$$ આમ, 91125 નું ઘનમૂળ 45 થશે.

#### (i) કોઈપણ એકી સંખ્યાનો ઘન બેકી સંખ્યા હોય. → ખોટું #### (ii) પૂર્ણ ઘન સંખ્યાના અંતિમ બે અંકો શૂન્ય ન હોય. → ખરું #### (iii) જો કોઈ સંખ્યાનો વર્ગ કરતાં એકમનો અંક 5 આવે તો ઘન કરતાં મળતી સંખ્યાના છેલ્લા બે અંક 25 આવે. → ખોટું #### (iv) એવી કોઈ પૂર્ણઘન સંખ્યા ના મળે કે જેનો એકમનો અંક 8 હોય. → ખોટું #### (v) બે અંકોવાળી સંખ્યાનો ઘન કરતાં મળતી સંખ્યા ત્રણ અંકોની પણ હોય. → ખોટું #### (vi) બે અંકોવાળી સંખ્યાનો ઘન કરતાં સાત કે તેથી વધુ અંકોની સંખ્યા પણ મળે. → ખોટું #### (vii) એક અંકની સંખ્યાનો ઘન કરવાથી એક અંકની સંખ્યા પણ મળે. → ખરું